Задачники Пособия

Прямая y= является касательной к графику функции y=. Найдите абсциссу точки касания

В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин - точка O. а) Докажите, что около в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC=12, BD=13

Прямая y= является касательной к графику функции y=. Найдите абсциссу точки касания

Найдите все значения a, при которых система уравнений имеет единственное решение

На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,25. а) Докажите, что четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AKND, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 8, AK:KB = 2:5, а BC < AD и BC = 4

Прямая y= является касательной к графику функции y=. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0

В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F - середины сторон ВC и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная. б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если AB=7, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 2,5

Найдите все значения a, при которых система уравнений имеет единственное решение

Отрезок, соединяющий середины M и N оснований ВC и AD соответственно трапеции ABCD разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная. б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности

Прямая y= параллельна касательной к графику функции y=. Найдите абсциссу точки касания

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка K - середина ребра A1B1, a точка M делит ребро AC в отношении AM:MC=1:3. а) Докажите, что KM перпендикулярна AC. б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB=10, AC=12, AA1=7

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=, где x - расстояние от точки отсчёта в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=4

Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр у стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC. а) Докажите, что . б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если sin B=0,6 и сторона AC=24

Из вершины тупого угла при вершине C треугольника ABC проведена высота CH. Окружность с центром H и радиусом HC пересекает второй раз стороны AC и BC в точках M и N соответственно, CD - диаметр этой окружности. а) Докажите, что угол MDN равен сумме углов A и B треугольника ABC. б) Найдите отношение MN к AB, если известно, что CM : MA = 1 : 11 и CN : NB = 1 : 2

Биссектрисы внешних углов при вершинах B и C треугольника ABC пересекаются в точке D. Центр окружности, вписанной в треугольник BCD, лежит на окружности, описанной около треугольника ABC. а) Докажите, что б) Найдите синус угла между прямыми AD и BC, если AB=10 и AC=16

Биссектрисы внешних углов при вершинах B и C треугольника ABC пересекаются в точке D. Центр окружности, вписанной в треугольник BCD, лежит на окружности, описанной около треугольника ABC. а) Докажите, что б) Найдите синус угла между прямыми AD и BC, если AB=7 и AC=15

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает большую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны. б) Найдите BC, если радиусы окружностей равны и 15

Биссектрисы внешних углов при вершинах B и C треугольника ABC пересекаются в точке D. Центр окружности, вписанной в треугольник BCD, лежит на окружности, описанной около треугольника ABC. а) Докажите, что б) Найдите синус угла между прямыми AD и BC, если AB=3 и AC=8

Точка K лежит на отрезке AB. Прямая, проходящая через точку B, касается окружности с диаметром AK в точке N и второй раз пересекает окружность с диаметром BK в точке M. Продолжение отрезка NK пересекает окружность с диаметром BK в точке P. а) Докажите, что прямые AN и BP параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKP, если BM=1 и MN=4

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы BAM и CDM прямые. а) Докажите, что BM=CM. б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен , а расстояние от точки M до прямой BC равно стороне AD