Решения задач по Теоремам стереометрии

Теоремы стереометрии

Показаны 20 из 360 задач

4803
Решение

На рёбрах BC, AB и AD правильного тетраэдра ABCD отмечены точки L, M и N соответственно. Известно, что BL : LC = AM : MB = AN : ND = 1 : 2. а) Докажите, что плоскость α, проходящая через точки L, M и N, делит ребро CD в отношении 2 : 1, считая от вершины C. б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если AB = 6

На рёбрах BC, AB и AD правильного тетраэдра ABCD отмечены точки L, M и N соответственно ! ЕГЭ основная волна 27-05-2025 Задание 14

4799
Решение

Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью α является правильным треугольником площадью 4√3. а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна прямой AC. б) В каком отношении точка K делит ребро SA, считая от вершины S, если объем пирамиды равен 18√3

Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K ! ЕГЭ основная волна 27-05-2025 Задание 14

4797
Решение

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны, на ребре AA1 отмечена точка M, на ребре A1B1 отмечена точка K. Известно, что AM=5MA1, A1K=KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно грани ABB1A1. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину С1. б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, если все ребра призмы равны 12

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны, на ребре AA1 отмечена точка M, на ребре A1B1 отмечена точка K ! ЕГЭ основная волна 27-05-2025 Задание 14

4773
Решение

Дан прямой круговой цилиндр. На окружности нижнего основания выбраны точки A и B, а на окружности другого основания - точки B1 и C1. Отрезок BB1 является образующей цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол ABC1 прямой. б) Найдите величину угла между прямыми BB1 и AC1, если AB = 8, BB1 =17 3, B1C1 =15

Дан прямой круговой цилиндр. На окружности нижнего основания выбраны точки A и B, а на окружности другого основания - точки B1 и C1 ! Статград Тренировочная работа №5 11 класс 23-04-2025 Задание 14 Вариант МА2410511

4761
Решение

Через вершину S прямого конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках A и B. Высота конуса SO равна 4√3, дуга AB равна 90°, а хорда AB равна 8. а) Докажите, что угол между плоскостью SAB и плоскостью основания конуса равен 60°. б) Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения

Через вершину S прямого конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках A и B ! Статград Тренировочная работа №5 11 класс 23-04-2025 Задание 14 Вариант МА2410509 # Задача-аналог 3336

4678
Решение

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 1, а на ребре BB1 - точка F так, что B1F : FB = 3 : 5. Известно, что . а) Докажите, что плоскость EFD1 делит ребро B1C1 на два равных отрезка. б) Найдите угол между плоскостью EFD1 и плоскостью AA1B1

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 1. Известно, что AB=5sqrt2, AD=12, AA1=16 ! СтатГрад Тренировочная работа №1 10 класс 04-02-2025 Вариант МА2400109 Задание 14 # Задача-аналог 3217

4614
Решение

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB =13, BC = 5, AA1 =12. а) Докажите, что плоскость α содержит точку D1. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1B1

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали !СтатГрад Тренировочная работа № 1 по математике 11 класс 03-10-2023 Задание 14

4586
Решение

Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды. На рёбрах BC, СD и SC соответственно отмечены точки K, N и F так, что BK:KC = CN:ND = 3:1, CF:FS = 3:13. a) Докажите, что прямая AS параллельна плоскости FNK. б) Найдите объём пирамиды SFNK, если AB = AS = 8

Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды ! ФИПИ школе 2025 ЕГЭ Ященко 36 вариантов профильный уровень Вариант 6 Задание 14 # Задача-аналог 4585

4585
Решение

Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды. На рёбрах BC, СD и SC соответственно отмечены точки K, N и F так, что BK : KC = CN : ND = 1 : 2, CF : FS = 2 : 7. a) Докажите, что плоскость ABC перпендикулярна плоскости FNK. б) Найдите объём пирамиды AFNK, если AB = AS = 6

Найдите объём пирамиды AFNK, если AB = AS = 6 ! ФИПИ школе 2025 ЕГЭ Ященко 36 вариантов профильный уровень Вариант 5 Задание 14 # Задача-аналог 4586

4529
Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки D и E делят соответственно рёбра AC и SB так, что AD : DC = SE : EB = 1 : 3. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка O, прямые OD и OE пересекают рёбра AS и BC в точках P и F соответственно, причём CF=2FB. Докажите, что отрезки DE и PF пересекаются. б) Найдите отношение AP : AS

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки D и E делят соответственно рёбра AC и SB так, что AD : DC = SE : EB = 1 : 3 ! ФИПИ школе 2025 ЕГЭ Ященко 36 вариантов профильный уровень Вариант 2 Задание 14

4528
Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки D и E делят соответственно рёбра AC и SB так, что AD : DC = SE : EB = 1 : 2. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка O, прямые OD и OE пересекают рёбра AS и BC в точках P и F соответственно, причём BF=FC. Докажите, что отрезки DE и PF пересекаются. б) Найдите отношение AP : PS

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки D и E делят соответственно рёбра AC и SB так, что AD : DC = SE : EB ! ФИПИ школе 2025 ЕГЭ Ященко 36 вариантов профильный уровень Вариант 1 Задание 14

4434
Решение

Все рёбра прямой треугольной призмы ABCA'B'C' с основанием ABC и боковыми рёбрами AA', BB', CC' равны. Найдите отношение, в котором делит объём этой призмы плоскость, проходящая через вершину C' и через середины рёбер AB и AA'

Все рёбра прямой треугольной призмы ABCA'B'C' с основанием ABC и боковыми рёбрами AA', BB', CC' равны ! ДВИ в МГУ 2024 - Вариант 245 5-го потока 20-07-2024, Задание 7

4432
Решение

Расстояние от середины высоты правильной четырёхугольной пирамиды до боковой грани равно √2, а для бокового ребра - √3. Найдите объём пирамиды

Расстояние от середины высоты правильной четырёхугольной пирамиды до боковой грани равно √2 ! ДВИ в МГУ 2024 - Вариант 246 6-го потока 21-07-2024, Задание 7

4379
Решение

Плоскость Пи перпендикулярна ребру SA правильной треугольной пирамиды ABCS с вершиной S и основанием ABC, делит это ребро в отношении 1 : 2 (считая от вершины S) и проходит через середину ребра SB. Найдите угол между плоскостью Пи и плоскостью основания пирамиды

Плоскость pi перпендикулярна ребру SA правильной треугольной пирамиды ABCS с вершиной S и основанием ABC, делит это ребро в отношении 1:2 ! ДВИ в МГУ 2024 - 1 поток, Вариант 241 Задание 7

4372
Решение

В правильном тетраэдре ABCD точки М и N - середины ребер АВ и CD соответственно. Плоскость α параллельна прямым АВ и CD и пересекает прямую MN в точке К. а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна прямой MN. б) Пусть плоскость α пересекает ребро AC в точке L. Найдите длину отрезка AL, если известно, что MК=1, КN=2

В правильном тетраэдре ABCD точки М и N - середины ребер АВ и CD соответственно. Плоскость α параллельна прямым АВ и CD и пересекает прямую MN в точке К ! ЕГЭ по математике 05.07.2024 (день пересдачи) профильный уровень Задание 14

4371
Решение

В основании четырёхугольной пирамиды ABCDT лежит параллелограмм ABCD. Известно, что в пирамиду вписан шар с центром O радиуса 1, причём высота пирамиды TH проходит через точку O. Какой наименьший объём может иметь такая пирамида?

В основании четырёхугольной пирамиды ABCDT лежит параллелограмм ABCD. Известно, что в пирамиду вписан шар ! Пробный ДВИ МГУ 2024 ФКИ Задание 7

4364
Решение

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на рёбрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки K, L и M соответственно так, что KLMC - равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 8. а) Докажите, что точка M - середина B1C1. б) Найдите угол между плоскостями KLM и ABC, если площадь трапеции KLMC равна

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на рёбрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки K, L и M соответственно ! ЕГЭ по математике 05.07.2024 (день пересдачи) профильный уровень Задание 14

4360
Решение

Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, . Точка P - середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT:TM = 3:1. a) Докажите, что плоскость CPT делит высоту MD треугольника AMB в отношении 1 : 2, считая от точки M. б) Вычислите объём пирамиды MPTC

Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях ! ЕГЭ по математике 05.07.2024 (день пересдачи - недостоверно) профильный уровень Задание 14 # Два способа решения пункта а (с теоремой Менелая и без)

4354
Решение

В тетраэдре ABCD ребро AD имеет длину 2, а все остальные рёбра равны 4. а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны. б) Найдите объем тетраэдра ABCD

В тетраэдре ABCD ребро AD имеет длину 2, а все остальные рёбра равны 4 ! ЕГЭ по математике резервный день профильный уровень Задание 14

4339
Решение

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O - центр основания пирамиды, точка M - середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении BK:KC=3:2, а AB=4 и SO=. а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O - центр основания пирамиды, точка M - середина ребра SC ! ЕГЭ по математике 31.05.2024 профильный уровень Задание 14