теорема Косинусов

На медиане AВ треугольника АВС отметили точку E. Точка F - середина отрезка BE, G - точка пересечения отрезков AD и CF. Отношение площади треугольника EFG к площади треугольника ABC равно 1:8. а) Докажите, что AE:ED = 1:3. б) Найдите площадь четырёхугольника BDGF, если , AB=7, AC=10

В треугольнике АВС угол С острый, угол В равен 45° и АН – высота. Прямая АН пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. А) Докажите, что прямые АВ и CD параллельны. Б) Найдите АС, если CB=8 и площадь треугольника CAD равна 12

Ребро основания правильной треугольной пирамиды равно , высота пирамиды равна . Плоскость pi перпендикулярна одному из рёбер пирамиды и делит её в отношении 1:2, считая от вершины. Найдите отношение в котором плоскость pi делит объём пирамиды

Плоские углы при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равны 30°. Найдите длину ребра основания пирамиды, если известно, что радиус сферы, вписанной в эту пирамиду равен 1

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания равной 1, если известно, что плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания

Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точке D. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке P, а прямая OP пересекает сторону AB в точке K. a) Докажите, что около четырёхугольника BDOK можно описать окружность. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BDOK, если AB=8, BC=, AC=7

AB=a, S AOBK=S. Найти CD

AB=OA=R, . Найти AC

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, а угол BDC равен 75°. Точка P лежит вне прямоугольника, а угол APB равен 150°. а) Докажите, что углы BAP и POB равны. б) Прямая PO пересекает сторону CD в точке F. Найдите CF, если и BP=4

Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D - параллелограмм АВСD, диагонали которого пересекаются в точке О. Известно, что АА1 : АВ : АD = 1 : 2 : √5. На ребре АА1 отметили такую точку М, что прямые ОМ и BD1 перпендикулярны. а) Докажите, что точка М - середина ребра АА1. б) Найдите расстояние от точки М до прямой B1D1, если АВ=2 , BD=3

На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,25. а) Докажите, что четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AKND, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 8, AK:KB = 2:5, а BC < AD и BC = 4

В основании пирамиды лежит параллелограмм со сторонами 8 и 10, а его большая диагональ равна . Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4. а) Докажите, что две боковые грани являются прямоугольными треугольниками. б) Найдите площади двух других боковых граней

SMNK – правильный тетраэдр. На ребре SK отмечена точка Р такая, что КР:PS=1:3, точка L – середина ребра MN. а) Доказать, что плоскости SLK и MPN перпендикулярны б) Найдите длину отрезка PL, если длина ребра MN равна 4

В треугольнике ABC угол C равен 60°. На сторонах AB, BC, AC отмечены точки D, E, F соответственно. Радиус окружности, вписанной в треугольник ADF, равен 1. Радиус окружности, вписанной в треугольник BDE, равен 2. Найдите сторону AB, если известно, что четырёхугольник DECF является ромбом

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка M - середина ребра CC1, точки K и N отмечены на рёбрах AB и A1B1 соответственно, так что AK : KB = B1N : NA1. а) Докажите, что плоскость MKN перпендикулярна плоскости AA1B1. б) Найдите площадь сечения плоскостью MKN, если AB=BB1=42, AK:KB = 1:41

SABCD - правильная четырёхугольная пирамида, точка M - середина ребра SA, точка N лежит на ребре SB, SN:NB=1:2. а) Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью CMN, если все рёбра пирамиды SABCD равны 6

В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены середины M и N отрезков AB и AD соответственно. а) Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны. б) Найдите расстояние между этими прямыми, если

На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка M такая, что треугольник AMC - равнобедренный, так что AM=MC. а) Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник AMD, лежит на диагонали параллелограмма. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AMD, если AB=7, BC=21 и

Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°. а) Докажите, что . б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC=1,

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра SB, точка G - середина ребра SC. а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF. б) Найдите угол между плоскостями ABG и GBF