Задачи 17 на планиметрию

На медиане AВ треугольника АВС отметили точку E. Точка F - середина отрезка BE, G - точка пересечения отрезков AD и CF. Отношение площади треугольника EFG к площади треугольника ABC равно 1:8. а) Докажите, что AE:ED = 1:3. б) Найдите площадь четырёхугольника BDGF, если , AB=7, AC=10

На диагонали LN параллелограмма KLMN отмечены точки P и Q, причём LP=PQ=QN. Прямые KP и KQ пересекают прямую LM в точках R и T соответственно. a) Докажите, что LR:RT = 1:3. б) Найдите площадь параллелограмма KLMN, если площадь пятиугольника PRMSQ, где S - точка пересечения прямой KQ со стороной, равна 15

Точка P лежит на стороне AC равностороннего треугольника АВС. Окружность с диаметром BP пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Хорды MF и NE параллельны прямой BP. Отрезки FP и EP пересекают стороны AB и BC в точках T и S соответственно. а) Докажите, что треугольники APT и CSP подобны. б) Найдите отношение, в котором точка P делит отрезок AC, если площади треугольников APT и CSP относятся как 4:9

В треугольнике АВС угол С острый, угол В равен 45° и АН – высота. Прямая АН пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. А) Докажите, что прямые АВ и CD параллельны. Б) Найдите АС, если CB=8 и площадь треугольника CAD равна 12

Касательная к окружности, вписанной в квадрат ABCD, пересекает стороны AB и AD в точках M и N соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата. б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. Найдите в каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3

Дан остроугольный треугольник ABC с углом ∠A=60°. Известно, что AB > AC. Высоты BE и CF этого треугольника пересекаются в точке H. На отрезке BH отмечена точка K так, что BK=CH. Найдите расстояние от точки H до центра описанной около треугольника ABC окружности, если известно, что KH=3

Биссектриса AM острого угла A равнобедренной трапеции ABCD делит боковую сторону CD пополам. Отрезок DN перпендикулярен отрезку AM и делит сторону AB в отношении AN : NB = 7 : 1. а) Докажите, что прямые BM и CN перпендикулярны. б) Найдите длину отрезка MN, если площадь трапеции равна

ABC равносторонний треугольник. На стороне AC выбрана точка M, серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает сторону AB в точке E, а сторону BC в точке K. а) Доказать что угол AEM равен углу CMK. б) Найти отношение площадей треугольников AEM и CMK, если AM : CM = 1 : 4

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы углов BAD и BCD пересекаются в точке O. Точки M и N отмечены на боковых сторонах AB и CD соответственно. Известно, что AM = MO, CN = NO. а) Докажите, что точки M, N и O лежат на одной прямой. б) Найдите AM : MB, если известно, что AO = OC и BC : AD = 1 : 7

Дан ромб ABCD. Прямая, перпендикулярная стороне AD, пересекает его диагональ AC в точке M, диагональ BD - в точке N, причем AM : MC = 1 : 2, BN : ND = 1 : 3. а) Докажите, что cos∠BAD = 0,2. б) Найдите площадь ромба, если MN=5

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD. а) Докажите, что AB : BC = AP : PD. б) Найдите площадь треугольника COD, где O - центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD - диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB=6, а

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN , если MN : BC = 3:7, а BN=6

Окружность касается одной из сторон прямого угла D в точке E и пересекает другую сторону угла в точках A и B. Точка A лежит на отрезке BD, а AC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что DE=1/2BC. б) Найдите расстояние от точки E до прямой AC, если AD=2, AB=6

Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точке D. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке P, а прямая OP пересекает сторону AB в точке K. a) Докажите, что около четырёхугольника BDOK можно описать окружность. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BDOK, если AB=8, BC=, AC=7

Окружность с центром O вписана в треугольник ABC. Касательная к окружности пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно. а) Докажите, что сумма углов AOD и BOE равна 180°. б) Найдите DE, если AC=BC, радиус окружности равен 3, , а разность углов AOD и BOE равна 60°

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярна AC, пересекает AD в точке K, BK=KD. а) Доказать, что лучи BK и BD делят угол ABC на три равные части. б) Найти расстояние от центра прямоугольника до прямой CK, если

Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р – середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD=3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q , AD=2BC. a) Докажите, что точка Q – середина отрезка AR б) Найдите площадь треугольника APQ

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, а угол BDC равен 75°. Точка P лежит вне прямоугольника, а угол APB равен 150°. а) Докажите, что углы BAP и POB равны. б) Прямая PO пересекает сторону CD в точке F. Найдите CF, если и BP=4

В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин - точка O. а) Докажите, что около в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC=12, BD=13

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны. б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, если AC=50 и BD=14