Свойство медианы гипотенузы

В треугольнике ABC угол С равен 46°, AD и BE – биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах

Угол между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C треугольника ABC равен 10°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах

Острый угол B прямоугольного треугольника равен 50°. Найдите угол между высотой CH и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах

В треугольник ABC вписана окружность. Точка M - середина AB. P - точка касания окружности со стороной AB. а) Докажите, что . б) Найдите углы треугольника ABC, если AM=MC, а радиус окружности в два раза больше MP

В трапеции ABCD ВС и AD – основания трапеции. Биссектриса угла A пересекает сторону CD в её середине P. a) Докажите, что BP - биссектриса угла ABC. б) Найдите площадь трапеции ABCD, если AP=8, BP=6

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD. a) Докажите, что . б) Найдите объём пирамиды, если и HC=8

Основание пирамиды SABC - прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B. а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин B и С. б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер BC и SA, если известно, что BS=2AC

Основание пирамиды SABC - прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B. а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин B и С. б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер BC и SA, если известно, что BS=AC

Дан тетраэдр ABCD. Известно, что центр сферы, описанной около этого тетраэдра лежит на AB, что плоскости ABC и ABD перпендикулярны и что AD=DC=CB. Найдите угол между прямыми AD и CB

Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5. а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие. б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса

Точка O1 – центр вписанной окружности равнобедренного треугольника ABC, а O2 – центр вневписанной окружности, касающейся основания BC. А) Докажите, что расстояние от середины отрезка O1O2 до точки С вдвое меньше O1O2. Б) Известно, что радиус первой окружности в пять раз меньше радиуса второй. В каком отношении точка касания первой окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Биссектрисы углов Си D четырехугольника ABCD пересекаются в точке К. Диагональ BD разбивает отрезок KC в отношении 2:1, считая от вершины С. При этом площадь треугольника ACD в два раза больше площади треугольника AKD. а) Докажите, что угол CKD прямой б) Найдите BK, если BC=6

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K, при этом AK:KC=1:2. а) Докажите, что угол BAC равен . б) Пусть прямые MK и BC пересекаютcя в точке P, а прямые AP и BK - в точке Q. Найдите KQ, если

В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы AB, BC > AC. На катете BC взята точка K такая, что . а) Докажите, что угол KMC прямой. б) Пусть N – вторая (помимо M) точка пересечения прямой CM и описанной окружности треугольника BMK. Найдите угол ANB

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC отмечены точки D и E, причём AD:DB=BE:EA=1:5, a тангенс угла DCE равен 2. Найдите AB, если площадь треугольника ABC равна 30

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке К. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй окружности в точке В. Луч BK пересекает первую окружность в точке D, луч AK пересекает вторую окружность в точке С. а) Докажите, что четырехугольник ABCD ‐ трапеция. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если радиус первой окружности равен 1, а радиус второй окружности равен 4

Дана трапеция с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки C и B пересекает отрезки MB и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков) соответственно. а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности. б) Найдите NQ, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB=21, BC=4, CD=20, AD=17

Дан треугольник ABC со сторонами AC = 30 , BC = 40 и AB = 50. Вписанная в него окружность с центром I касается стороны BC в точке L, M - середина BC , AP - биссектриса треугольника ABC , O -центр описанной около него окружности. а) Докажите, что P - середина отрезка LM. б) Пусть прямые OI и AC пересекаются в точке K , а продолжение биссектрисы AP пересекает описанную окружность в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника OKCQ

На гипотенузе AB и катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки M, N и K соответственно, причём прямая NK параллельна прямой AB и . Точка P - середина отрезка KN. а) Докажите, что четырёхугольник - равнобедренная трапеция. б) Найдите площадь треугольника ABC, если и

Окружность с центром O1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB = 10, BC = 9, CD = 30, AD = 39. а) Докажите, что прямая O1O2 параллельна основаниям трапеции ABCD. б) Найдите O1O2