Теория вероятностей изучает особого рода законы, управляющие случайными явлениями.
Что же такое СЛУЧАЙНОЕ ЯВЛЕНИЕ? Пусть производятся опыты: бросание монеты ( кубика, кости) или вынимание карты из колоды наугад. Мы не можем заранее предвидеть результат (исход опыта). Всё это – случайные явления. Всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти называется СЛУЧАЙНЫМ СОБЫТИЕМ.
Пример 1 - Бросание игральной кости:
Событие A - выпадение 6 очков;
Событие B – выпадение чётного числа очков;
Уже здравый смысл говорит о том, что событие B более вероятно, чем A.
Как же оценить вероятность? За ЕДИНИЦУ в теории вероятностей принято считать вероятность ДОСТОВЕРНОГО события. Вероятность невозможного события – ноль, то есть вероятность P(A) любого случайного события есть число между 0 и 1:
Пусть проводится опыт, имеющий ряд исходов:
События
называются НЕСОВМЕСТНЫМИ, если никакие два из них не могут появиться вместе.
События
образуют ПОЛНУЮ ГРУППУ, если они исчерпывают собой ВСЕ возможные исходы.
События
называют РАВНОВОЗМОЖНЫМИ, если условия опыта обеспечивают одинаковую возможность появления каждого из них.
Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность любого события "A" в этом опыте может быть подсчитана как отношение числа случаев, благоприятных событию A к общему числу случаев:
где
n - общее число случаев
- число случаев, благоприятных событию A (т.е. обеспечивающих их появление)
Пример 2 - В урне 3 белых и 4 чёрных шара:
В урне 3 белых и 4 чёрных шара. Вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что вынули 2 чёрных и один белый шар.
Из 4x чёрных шаров выбрать два можно
cпособами и к каждому из них присоединить белый, который выбирается
способами
Пример 3 - карточка спортлото:
Куплена карточка спортлото "6 номеров из 49". Какова вероятность угадать 3 номера из 6?
Ответ: ~ 0.0176
Пример 4 - Бросают две монеты
Бросают две монеты: Какова вероятность появления хотя бы одного герба?
Первый способ решения Примера 4
Четыре возможных исхода:
Герб
Герб
Цифра
Герб
Герб
Цифра
Цифра
Цифра
Ответ: 0.75
Второй способ решения Примера 4
Можно сделать переход к противоположному событию
, т.е. какова вероятность того, что герб не появится?
, тогда вероятность
Ответ: 0.75
Пример 5 - В урне 3 белых и 4 чёрных шара
В урне 3 белых и 4 чёрных шара
a) Вынимают 1 шар. Какова вероятность, что он белый?
б) Вынимают 2 шара. Какова вероятность, что оба белые?
* Вспоминаем формулу Числа сочетаний из n по m:
Основные правила теории вероятностей
Правила сложения вероятностей
а) Сложение вероятностей несовместных событий
Пусть A и B - два несовместных события
Вероятность того, что произойдёт одно из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Это правило легко обобщается на любое число событий. Вероятность того, что произойдёт какое-либо из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Следствие 1
Если события
несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1.
Следствие 2
Если A - какое-то событие, а
- противоположное ему, то
т.е. сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
на этой формуле основан распространенный способ перехода к противоположному событию.
б) Сложение вероятностей совместных событий
- персечение событий (совместное появление A и B).
Пересечение событий
1) Если события A и B НЕЗАВИСИМЫЕ, то:
2) Если события A и B ЗАВИСИМЫЕ, то P(B/A) называется условной, т.е. P(B) вычисляется при условии, что A произошло:
Пример 6 - В урне 4 белых и 3 чёрных шара
В урне 4 белых и 3 чёрных шара
Вынимают один за другим два шара. Какова вероятность, что оба белые?
Первый способ решения Примера 6
Вероятность, что первый шар - белый:
Вероятность достать белым второй шар зависит от того, каким был первый шар:
Второй способ решения Примера 6
Пример 7 - Изготовлено 50 электроламп
Изготовлено 50 электроламп, из них 3 штуки бракованные. Найти вероятность того, что из двух наугад взятых ламп обе бракованные.
Первый способ решения Примера 7
Второй способ решения Примера 7
Пример 8 - Два стрелка стреляют по цели
Два стрелка стреляют по цели независимо друг от друга. Первый стрелок поражает цель с вероятностью 0.6. Вероятность попасть в цель у второго стрелка - 0.7. Событие C - поразить цель. Найти P(C).
Первый способ решения Примера 8
Второй способ решения Примера 8
Обозначения: + попал - промах
P(+-)
Первый попал, Второй промахнулся
P(-+)
Первый промахнулся, Второй попал
P(++)
Оба попали
Третий способ решения Примера 8
Переход к противоположному событию:
Пример 9 - Бракованные изделия
Имеются 30 изделий, из них 5 - бракованные. Берут 7 изделий. Какова вероятность, что два будут бракованными?
Пример 10 - В урне 3 белых и 5 чёрных шаров
В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Вынимают 4 шара. Какова вероятность того, что будут два белых и два чёрных?
Формула полной вероятности
Задача:
Слепой старец хочет попасть из пункта A в пункт B.
Из A в B можно переместиться по трём маршрутам:
A-C-B
A-F-B
A-D-B
P(B) - вероятность события B (вероятность попасть в пункт B)
C, F, D - события попасть из A в пункты C, F, D соответственно - Несовместные события, образуют полную группу (других маршрутов нет)
Применяя формулу для вычисления вероятностей суммы несовместных событий:
Таким образом:
Перейдём к обобщению:
Пусть событие B происходит с одним и только с одним из несовместных событий
и пусть известны условные вероятности
Тогда, используя формулы для подсчёта вероятностей суммы несовместных событий,
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ:
Пример 11 - Партия деталей изготовлена двумя рабочими
Партия деталей изготовлена двумя рабочими. Первый изготовил 2/3 всех деталей, второй - 1/3 всех деталей.
Вероятность брака для Первого - 0.01, для Второго - 0.1.
На контроль взята одна деталь. Какова вероятность, что она бракованная?
Пример 12 - Вероятность обнаружения туберкулёза
Вероятность обнаружения туберкулёза при однй рентгеноскопии - 3/4. Чему равна вероятность обнаружить заболевание при трёх рентгеноскопиях?
В этом примере рациональнее было бы перейти к противоположному событию
-не обнаружить заболевание при трёх рентгеноскопиях.
тогда, вероятность обнаружить:
Повторение испытаний. Формула Бернулли
Пусть вероятность события A (P(A)) в единичном испытании постоянна и равна "p" (0 < p < 1).
Задача:
Найти вероятность того, что в серии из "n" независимых испытаний событие A появится ровно "k" раз.
Вероятность того, что A не появится: q=1-p - вероятность
(События, противоположного событию A).
Вероятность появления события A "k" раз вычисляется по формуле Бернулли:
Пример 13 - Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0.8
Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0.8
Найти вероятность трёх попаданий при трёх выстрелах.
Пример 14 - Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0.7
Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0.7. Проводится серия из 5 выстрелов.
Какова вероятность двух попаданий?
Пример 15 - Вероятность изготовления бракованной детали 0.05
Вероятность изготовления бракованной детали 0.05. Найти вероятность того, что из пяти наугад взятых деталей будут бракованными 4 ?
Задачи из тренировочных вариантов пособий Ященко для подготовки к ЕГЭ профильного уровня