Математика 50 вариантов ЕГЭ 2018 Тренировочная работа 21 Часть 2 Задание 14 Вариант 21 стр 225
SABCD - правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD № задачи в базе 871
SABCD - правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD. Из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD. a) Докажите, что угол AHC=. б) Найдите объём пирамиды, если HA=1 и HC=5
Ответ:
Ключевые слова:
Задания ЕГЭ части 2 Задачи 14 на стереометрию Критерии ЕГЭ по математике 2022 Математика 36 вариантов ЕГЭ 2022 ФИПИ школе Ященко Математика 50 вариантов заданий ЕГЭ 2022 Ященко ЕГЭ 2018 50 вариантов 2018 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ Тренировочная работа 21 14 вариантов 2018 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ Вариант 8 (14 вар 2018) Геометрия Стереометрия теорема О трёх перпендикулярах признак Перпендикулярности прямой и плоскости Перпендикулярность плоскостей Параллельность прямой и плоскости Пирамида Планиметрия Теоремы планиметрии Подобие треугольников Свойство медианы гипотенузы Задачники Пособия Ошибки в ответах пособий
Примечание:
Математика 50 вариантов ЕГЭ 2018 Тренировочная работа 21 Часть 2 Задание 14 Вариант 21 стр 225 ! SABCD - правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD # У Ященко в пособии ошибка в ответе Равенство отрезков и требует доказательства # Задача-Аналог 3320
РЕШЕНИЕ
а) Рассмотрим треугольник `HBD`. Угол `BHD=90^@`, так как `BH` - `bot` на плоскость `ASD`, следовательно, `bot` к HD, лежащей в этой плоскости.
HO - медиана гипотенузы BD, значит равна её половине: `HO=(1/2)BD`; `AC=BD` по условию, следовательно `HO=(1/2)AC`, поэтому треугольник `AHC` - прямоугольный, что и требовалось доказать.
б)
`AC=sqrt((AH)^2+(HC)^2)=sqrt(26)` по теореме Пифагора. Следовательно,сторона основания пирамиды равна `sqrt13`.
Дополнительное построение:
Через точку О проведём MN || CD; Проведём NE `_|_` к SM.
AD `_|_` к MN и AD `_|_` к SO, следовательно AD `_|_` к плоскости SMN по теореме о двух перпендикулярах.
Плоскость SAD проходит через AD, следовательно плоскости SAD и SMN взаимно `_|_`.
NE `_|_` к ME по построению, следовательно NE `_|_` к ASD.
Точки B и N лежат на прямой BC || плоскости ASD, следовательно NE=BH. AB=MN. Следовательно AH=ME=1 (если наклонные равны, то равны и их проекции на плоскость ASD).
Треугольник `MNE` подобен треугольнику `SMO`(они прямоугольные и имеют общий угол M); Отсюда следует, что `MS=(MO*MN)/(EM)=13/2`; `SO=sqrt(169/4-13/4)=sqrt(39)`.
Объём парамиды равен `(1/3)S_(ABCD)*SO`. Площадь основания равна 13. `SO=sqrt(39) => V_(SABCD) =(13sqrt(39))/3`
Ответ: `(13sqrt39)/3` )
а) Рассмотрим треугольник `HBD`. Угол `BHD=90^@`, так как `BH` - `bot` на плоскость `ASD`, следовательно, `bot` к HD, лежащей в этой плоскости.
HO - медиана гипотенузы BD, значит равна её половине: `HO=(1/2)BD`; `AC=BD` по условию, следовательно `HO=(1/2)AC`, поэтому треугольник `AHC` - прямоугольный, что и требовалось доказать.
б)
`AC=sqrt((AH)^2+(HC)^2)=sqrt(26)` по теореме Пифагора. Следовательно,сторона основания пирамиды равна `sqrt13`.
Дополнительное построение:
Через точку О проведём MN || CD; Проведём NE `_|_` к SM.
AD `_|_` к MN и AD `_|_` к SO, следовательно AD `_|_` к плоскости SMN по теореме о двух перпендикулярах.
Плоскость SAD проходит через AD, следовательно плоскости SAD и SMN взаимно `_|_`.
NE `_|_` к ME по построению, следовательно NE `_|_` к ASD.
Точки B и N лежат на прямой BC || плоскости ASD, следовательно NE=BH. AB=MN. Следовательно AH=ME=1 (если наклонные равны, то равны и их проекции на плоскость ASD).
Треугольник `MNE` подобен треугольнику `SMO`(они прямоугольные и имеют общий угол M); Отсюда следует, что `MS=(MO*MN)/(EM)=13/2`; `SO=sqrt(169/4-13/4)=sqrt(39)`.
Объём парамиды равен `(1/3)S_(ABCD)*SO`. Площадь основания равна 13. `SO=sqrt(39) => V_(SABCD) =(13sqrt(39))/3`
Ответ: `(13sqrt39)/3` )
