Планиметрия

Найдите площадь параллелограмма на рисунке, если площади жёлтых треугольников равны 5 и 2

В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причем точка P лежит на стороне AD, а точка Q – на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM = BP, AB = BQ. а) Докажите, что BM = PQ. б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM = BP = 21, AB = BQ = 29

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла, AM и CN – биссектрисы треугольников ACH и BCH соответственно. a) Докажите, что прямые AM и CN перпендикулярны. б) Найдите длину отрезка MN, если BC=21 и sin ∠ABC=2/5

В треугольнике ABC угол ACB равен 30°, отрезки AH и AM – высота и медиана соответственно, причём точка H лежит на отрезке BM. Отрезок MQ – высота треугольника AMC, а прямые AH и MQ пересекаются в точке F. Известно, что луч AM – биссектриса угла CAH. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите площадь CMF, если AB = 8

В четырёхугольнике KLMN вписана окружность с центром в точке O. Эта окружность касается стороны MN в точке A, ∠MNK = 90°, ∠KLM=∠LMN= 60°. а) Докажите, что точка A лежит на прямой LO. б) Найдите MN, если LA=3√3

Дан остроугольный треугольник ABC. Известно, что ∠BAC = 2∠ABC. Точка O – центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P. a) Докажите, что треугольники ABC и PAC подобны. б) Найдите AB, если BC=6 и AC=4

В параллелограмме ABCD отметили точку M на AB такую, что AD=DM, а на стороне AD взяли точку N такую, что AB=BN. а) Докажите, что CM=CN. б) Найдите радиус описанной окружности вокруг треугольника MND, если BC=3, AB=2, ∠BCD=60°

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 6. BD - высота треугольника ABC. AB = 5, AD = 4. Найдите BC

На рисунке изображен пятиугольник, в котором указаны некоторые углы и отмечены равные стороны. Чему равен угол х?

В треугольнике ABC проведена медиана BM и отрезок AD, который образует равные углы с отрезками BM и BC. Известно, что BD=4 и DC=3. Найдите длину BM

Основание AD трапеции ABCD является диаметром окружности, проходящей через середину стороны AB и касающейся прямой CD. а) Докажите, что треугольник ABD равнобедренный. б) Найдите площадь трапеции ABCD, если BC = 4, ∠BDC = 30°

Основания прямоугольной трапеции равны 14 и 18, а площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах

Точки K и M - середины сторон AB и BC соответственно параллелограмма ABCD. Отрезки AM и CK пересекаются в точке P. а) Докажите, что точка P принадлежит диагонали BD. б) Найдите площадь параллелограмма, если известно, что AB =17, BP = 4 и BC = 25

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 49

В трапеции ABCD точка E – середина основания AD, точка K – середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DK пересекаются в точке O. а) Докажите, что площади четырёхугольника AKOE и треугольника COD равны. б) Найдите, отношение площади четырёхугольника AKOE к площади трапеции ABCD, если BC=3, AD =4

Сумма оснований трапеции равна 17, а её диагонали равны 8 и 15. a) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции

Найдите хорду, на которую опирается угол 135°, вписанный в окружность радиусом

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=3, . Найдите AC

Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD - в точке N, причем AM : MC = 1 : 2, BN : ND = 1 : 3. а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1:4. б) Найдите сторону ромба, если

Точки P, Q , W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP : PB = CQ:QB = CW:WD =1:3. В треугольнике PQW угол W острый, при этом радиус описанной около этого треугольника окружности равен 5/4, PQ = 2 , QW = 3/2. а) Докажите, что треугольник PQW прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD