В четырёхугольнике ABCD ВС=1, AD=7
Найдите EF № задачи в базе 4427
В четырёхугольнике ABCD ВС=1, AD=7. На отрезках AB и CD отмечены соответственно точки E и F, такие что - четырёхугольники EBCF и AEFD вписанные и равновеликие. Найдите EF
Ответ: 5
Ключевые слова:
Олимпиада Геометрия признак Параллельности прямых Планиметрия Подобие треугольников свойство Вписанного четырёхугольника Треугольник Окружность
ФИПИ 2025 🔥
ФИПИ 2025 🔥
Примечание:
В четырёхугольнике ABCD ВС=1, AD=7 ! Найдите EF
Решение:
$ EF=X $ $ \angle AEF= \angle 1, \angle BEF = \angle 2 $ По свойству смежных улов: $ \angle 1 + \angle 2 = 180° $ По свойству вписанного четырёхугольника: $ \angle AEF + \angle FDA =180° $ Следовательно: $ \angle FDA = \angle 2 $ По свойству вписанного четырёхугольника: $ \angle BEF + \angle BCF = 180° $ $ \angle BCF = \angle 1 $ Дополнительное построение - продолжим AB и CD до пересечения в точке K. $ BC \parallel AD $ (сумма внутренних односторонних = 180°)
Следовательно: $ \angle KBC = \angle KAD = \angle KFE = 180° - \angle EFD $ $ \bigtriangleup KBC \sim \bigtriangleup AKD \sim \bigtriangleup EKF $ (по углам)
Обозначим: $ S_{KBC} = S_1 $ $ S_{BCFE} = S_{AEFD} = S $ Тогда: $ S_{AKD} = 2S+S_1 $ Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия: $ \frac{S+S_1}{S_1} = \frac{X^2}{1} $ $ \frac{2S+S_1}{S_1} = \frac{49}{1} $ $ 2S+S_1 =49S_1 $ $ S=24S1 $ $ \frac{S}{S_1}=24 $ $ x^2 =25 $ $ x=5 $ ОТВЕТ: 5
$ EF=X $ $ \angle AEF= \angle 1, \angle BEF = \angle 2 $ По свойству смежных улов: $ \angle 1 + \angle 2 = 180° $ По свойству вписанного четырёхугольника: $ \angle AEF + \angle FDA =180° $ Следовательно: $ \angle FDA = \angle 2 $ По свойству вписанного четырёхугольника: $ \angle BEF + \angle BCF = 180° $ $ \angle BCF = \angle 1 $ Дополнительное построение - продолжим AB и CD до пересечения в точке K. $ BC \parallel AD $ (сумма внутренних односторонних = 180°)
Следовательно: $ \angle KBC = \angle KAD = \angle KFE = 180° - \angle EFD $ $ \bigtriangleup KBC \sim \bigtriangleup AKD \sim \bigtriangleup EKF $ (по углам)
Обозначим: $ S_{KBC} = S_1 $ $ S_{BCFE} = S_{AEFD} = S $ Тогда: $ S_{AKD} = 2S+S_1 $ Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия: $ \frac{S+S_1}{S_1} = \frac{X^2}{1} $ $ \frac{2S+S_1}{S_1} = \frac{49}{1} $ $ 2S+S_1 =49S_1 $ $ S=24S1 $ $ \frac{S}{S_1}=24 $ $ x^2 =25 $ $ x=5 $ ОТВЕТ: 5
