Тренировочная работа 25.01.2018 СтатГрад пробный ЕГЭ 11 класс Задание 18 (Вариант МА10311)

РЕШЕНИЕ 1003
Первое уравнение системы раскладывается на множители: `(x − 2y)*(y − 2x) = 0` . Следовательно, уравнение задаёт пару прямых `x = 2y` и `y = 2x`.
Второе уравнение при каждом `a != 0` — уравнение окружности c центром `(a, a)` и радиусом `a^2sqrt5`
Если `a=0` то система имеет единственное решение и поэтому не удовлетворяет условию задачи.
Пусть `a != 0` Тогда условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда окружность касается каждой из прямых. То есть расстояние от центра до каждой из прямых равно радиусу окружности.
Можно воспользоваться геометрическим методом или использовать формулу расстояния от точки до прямой.
`abs(a-2a)/sqrt(5)=abs(2a-a)/sqrt5=a^2sqrt5`
Отсюда
Ответ: `a = ±0.2`
Комментарий: на самом деле, конечно, задача сводится к исследований количества решений системы
`{(y=2x), ((x-a)^2+(y-a)^2=5a^4):}`
То есть, уравнение `(x-a)^2 +(2x-a)^2 =5a^4 iff 5x^2 - 6ax +2a^2 -5a^4 =0` которое имеет единственное решение при
`D=100a^4 - 4a^2=4a^2(25a^2-1)=0 iff [(a=0), (a=+-0.2):}`
При `a=0` прямые пересекаются, поэтому исходная система имеет не два, а всего одно решение. )