признак Параллельности прямых

На биссектрисе AL треугольника ABC отмечена точка M. Пусть A', B', C' – точки пересечения окружности, описанной около треугольника ABC, с прямыми AM, BM, CM соответственно, отличные от точек A, B, C. Пусть P – точка пересечения отрезков AB и A'C' и пусть Q – точка пересечения отрезков AC и A'B'. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника APQ, если известно, что BC : PQ = 3

В четырёхугольнике ABCD ВС=1, AD=7. На отрезках AB и CD отмечены соответственно точки E и F, такие что - четырёхугольники EBCF и AEFD вписанные и равновеликие. Найдите EF

Окружность с центром в точке О касается сторон угла с вершиной N в точках А и В. Отрезок ВС - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая АС параллельна биссектрисе угла ANB. б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что АС=14 и АВ=48

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB=CD=4, a BC=DE=6. а) Докажите, что AC=CE. б) Найдите длину диагонали ВЕ, если AD=7

В параллелограмме ABCD со сторонами AD=12, AB=4 и углом A, равным 30°, проведены биссектрисы всех четырёх углов. a) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, - прямоугольник. б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного биссектрисами

В треугольнике АВС угол С острый, угол В равен 45° и АН – высота. Прямая АН пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. А) Докажите, что прямые АВ и CD параллельны. Б) Найдите АС, если CB=8 и площадь треугольника CAD равна 12

Четырёхугольник ABCD со сторонами BC=7 и AB=CD=20 вписан в окружность радиусом R=16. а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны. б) Найдите AD

Дан треугольник ABC. Точка O - центр вписанной в него окружности. На стороне BC отмечена такая точка M, что CM=AC и BM=AO. а) Докажите, что прямые АВ и OM параллельны. б) Найдите площадь четырёхугольника ABMO, если угол AСB прямой и AC=4

В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN - диаметр этой окружности. а) Докажите, что AC и KN параллельны. б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N. а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны. б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN=8 и AM:MC=1:3

Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон BC, AB и AC в точках K, L и М соответственно. Прямая КМ вторично пересекает в точке Р окружность радиуса АМ с центром А. а) Докажите, что прямая АР параллельна прямой ВС б) Пусть , АМ = 3, СМ = 2, Q – точка пересечения прямых КМ и АВ, а Т – такая точка на отрезке РQ, что . Найдите QT

Хорды АС и BD пересекаются в точке T. На хорде BC отложен отрезок CP, равный AD. Точки P и D равноудалены от хорды AC, а отрезок TP перпендикулярен хорде BC. А) Докажите, что площади четырехугольников ABPD и APCD равны. Б) Найдите эти площади, если площадь треугольника ATD равна трем

Точка O1 – центр вписанной окружности равнобедренного треугольника ABC, а O2 – центр вневписанной окружности, касающейся основания BC. А) Докажите, что расстояние от середины отрезка O1O2 до точки С вдвое меньше O1O2. Б) Известно, что радиус первой окружности в пять раз меньше радиуса второй. В каком отношении точка касания первой окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2. а) Докажите, что плоскости A1BD и B1D1C параллельны. б) Найдите расстояние между плоскостями A1BD и B1D1C

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N. а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны. б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN=4 и AM:MC=1:3

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD углы и прямые. а) Докажите, что . б) Найдите , если , а

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=8. Известно, что AB=BC=CD=12. а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны. б) Найдите AD

Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции , пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника в точках K и L соответственно. а) Докажите, что . б) Найдите MN, если известно, что BC=10, AD=18 и

Равные отрезки AB и СD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них, AD=AO. а) Докажите, что BC параллельна AD. б) Найти угол AEC, если E -точка пересечения биссектрис углов BCO и DAO

На окружности радиусом 20 с центром C взята точка P. в треугольнике ABC AB=25, AC=15, BC=20. Площадь треугольника APC равна площади треугольника BPC. Найти расстояние от точки P до прямой (AB) если оно меньше 25