Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t_0 рублей за единицу товара

Решение:
Если за единицу товара налог t0 рублей, то вся сумма налога за (7000-t0) единиц товара будет $ S_1= t_0(7000-t_0) $ рублей
Если налог за единицу товара 1,25·t0 рублей, то всего налоговых поступлений будет $ S_2 = 1,25 \cdot t_0(7000-1,25 t_0) $ рублей
По условию суммы S1 и S2 равны между собой, соcтавим уравнение: $ t_0(7000-t_0) = 1,25 \cdot t_0(7000-1,25 t_0) $ $ 7000-t_0 = 1,25 \cdot 7000-1,25^2 \cdot t_0 $ $ 1,25t_0=\frac{5}{4}t_0 $ $ 1,25^2t_0=\frac{25}{16}t_0 $ $ \frac{25}{16}t_0 -t_0 = 8750 -7000 $ $ \frac{9}{16}t_0 = 1750 $ $ t_0 = \frac{28000}{9} $ $ 1,25t_0 = \frac{5}{4}t_0 = \frac{5 \cdot 28000}{4 \cdot 9} $ $ 1,25t_0 = \frac{35000}{9} $ Пусть налог изменится на x%, т.е.: $ \frac{35000}{9} + \frac{35000}{9} \cdot \frac{x}{100}= \frac{35000}{9}(1+\frac{x}{100})$ Общая сумма налоговых поступлений: $ P(x) = \frac{35000}{9}(1+\frac{x}{100})(7000 - \frac{35000}{9}(1+\frac{x}{100}) )$ рублей
Введём новую переменную: $ y = \frac{35000}{9}(1+\frac{x}{100}) $ $ P(y) = y(7000-y)=-y^2+7000y $ P(y) - квадратичная функция, eё график - парабола, ветви вниз. Наибольшего значения эта функция достигает в вершине (точке максимума).
Абсцисса вершины y0: $ y_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{7000}{2 \cdot(-1)}=3500 $ Вернёмся к старой переменной: $ \frac{35000}{9}(1+\frac{x}{100}) =3500 $ $ \frac{10}{9}(1+\frac{x}{100}) = 1 $ $ 1+\frac{x}{100} = \frac{9}{10} $ $ \frac{x}{100} = -\frac{1}{10} $ Значит налог уменьшится на 10%
ОТВЕТ: Налог нужно уменьшить на 10%