Вершины двух квадратов соединили двумя отрезками, как на рисунке
Квантик, XI тур олимпиады, Задача 49 № задачи в базе 4430
Вершины двух квадратов соединили двумя отрезками, как на рисунке. Оказалось, что эти отрезки равны. Найдите угол между ними
Ответ: 30°
Ключевые слова:
Примечание:
Вершины двух квадратов соединили двумя отрезками, как на рисунке ! Квантик, XI тур олимпиады, Задача 49 # Три способа решения, в двух - теорема Пифагора
1 Решение:
Дополнительное построение: FC, FM, CH ⟂ AB $ FC \parallel AB $ $ CH=FO=\frac{1}{2} FM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} AC $ В прямоугольном треугольнике △ACН катет CH равен половине гипотенузы AC: искомый угол равен 30°
ОТВЕТ: 30°
2 Решение:
Дополнительное построение: квадрат FNKD, [AK], [BK]
Пифагорим три раза:
треугольник △ADK: $ AK=\sqrt{(a+b)^2+b^2} $ треугольник △ADC: $ AC=\sqrt{(a+b)^2+b^2} $ треугольник △BNK: $ BK=\sqrt{(a+b)^2+b^2} $ $AB=AC=AK=BK $ Следовательно, треугольник △AKB - равносторонний $ \angle KAB = 60° $ $ \angle DAB = 45° $ $ \angle KAD = 15° $ AD - высота и биссектриса KAC, следовательно $ \angle DAC = \angle DAK = 15° $ $ \angle CAB = 60° - 2 \cdot 15° = 30° $
ОТВЕТ: 30°
3 Решение:
$ AB= a \sqrt2=AC $ Дополнительное построение: [AH] - медиана и высота в △ABC. Обозначим искомый угол 2X $ \bigtriangleup ADC : (a+b)^2+b^2=AC^2=2a^2 $ $ a^2+2ab+2b^2=2a^2 $ $ 2b^2=a^2 -2ab $ $ BC^2 = (a-b)^2+b^2=a^2-2ab+2b^2 = 4b^2 $ $ BC=2b $ $ BH=HC=CD=b $ $ \bigtriangleup ADC = \bigtriangleup AHC $ (по катету и гипотенузе) $ \angle CAD = x $ $ \angle BAD = 45° $ (между сторной и диагональю квадрата) $ 2x= 2 \cdot \frac{45°}{3} = 30° $ ОТВЕТ: 30°
Дополнительное построение: FC, FM, CH ⟂ AB $ FC \parallel AB $ $ CH=FO=\frac{1}{2} FM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} AC $ В прямоугольном треугольнике △ACН катет CH равен половине гипотенузы AC: искомый угол равен 30°
ОТВЕТ: 30°
2 Решение:
Дополнительное построение: квадрат FNKD, [AK], [BK]
Пифагорим три раза:
треугольник △ADK: $ AK=\sqrt{(a+b)^2+b^2} $ треугольник △ADC: $ AC=\sqrt{(a+b)^2+b^2} $ треугольник △BNK: $ BK=\sqrt{(a+b)^2+b^2} $ $AB=AC=AK=BK $ Следовательно, треугольник △AKB - равносторонний $ \angle KAB = 60° $ $ \angle DAB = 45° $ $ \angle KAD = 15° $ AD - высота и биссектриса KAC, следовательно $ \angle DAC = \angle DAK = 15° $ $ \angle CAB = 60° - 2 \cdot 15° = 30° $
ОТВЕТ: 30°
3 Решение:
$ AB= a \sqrt2=AC $ Дополнительное построение: [AH] - медиана и высота в △ABC. Обозначим искомый угол 2X $ \bigtriangleup ADC : (a+b)^2+b^2=AC^2=2a^2 $ $ a^2+2ab+2b^2=2a^2 $ $ 2b^2=a^2 -2ab $ $ BC^2 = (a-b)^2+b^2=a^2-2ab+2b^2 = 4b^2 $ $ BC=2b $ $ BH=HC=CD=b $ $ \bigtriangleup ADC = \bigtriangleup AHC $ (по катету и гипотенузе) $ \angle CAD = x $ $ \angle BAD = 45° $ (между сторной и диагональю квадрата) $ 2x= 2 \cdot \frac{45°}{3} = 30° $ ОТВЕТ: 30°
