Ребро AD пирамиды DABC равно 6, а все остальные рёбра равны 5

Решение:
а)
Треугольник ABC - равносторонний (по условию: AB=BC=AC=5);
Треугольник DBC - равнобедренный (по условию: DB=DC=5);
1) AH - высота и медиана треугольника ABC;
2) DH - высота и медиана треугольника DBC;
Из 1 и 2 следует, что ребро BC перпендикулярно AH и DH, а следовательно BC перпендикулярно плоскости ADH (по теореме о двух перпендикулярах);
BC перпендикулярно AD (по определению перпендикуляра к плоскости) - что и требовалось доказать.
б)
$ AH=DH=\sqrt{5^2-\left({\frac{5}{2}} \right)^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2} $
Дополнительное построение:
1) HK ⊥ AD, треугольник ADH - равнобедренный, следовательно точка K - середина AD.
2) HK ⊥ BC, так как ВС ⊥ плоскости (ADH), в которой лежит прямая HK.
Из 1 и 2 следует, что HK - общий перпендикуляр скрещиваюшихся прямых BC и AD. Его длина - искомая величина.
Рассмотрим треугольник AKH: $ HK=\sqrt{AH^2 -AK^2}=\sqrt{\frac{75}{4}-9}=\frac{\sqrt{39}}{2} $
ОТВЕТ:$ \frac{\sqrt{39}}{2} $