В параллелограмме ABCD угол A острый. На продолжениях сторон AD и СD за точку D

Решение:
а)
$$\angle BAD = \angle CDM =\alpha$$ (соответственные углы при параллельных прямых)
Углы при вершине D - вертикальные
$$\angle AND = \angle ADN$$ $$\angle CMD = \angle CDM$$ (свойство равнобедренного треугольника) $$\angle BAN = \angle BCM = \angle ABC = 180 \degree - \alpha$$
Треугольники ABN и BCM равны по первому признаку равенства треугольников, следовательно $$BN = BM$$ Что и требовалось доказать.
б) $$sin \space \alpha= \frac{5}{13}$$ $$cos \space \alpha= \frac{12}{13}$$ $$sin \space 2\alpha= 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13}=\frac{120}{169}$$ $$\triangle ABC = \triangle ABN = \triangle BCM$$ (по первому признаку)
Трапеция ABCN - равнобедренная, суммы её противоположных углов - 180 градусов, следовательно она может быть вписана в окружность. Радиус этой окружности возьмём за R. В эту же окружность может быть вписана и равнобедренная трапеция ABCM. Точки A, B, C, M, N лежат на одной окружности.
Применим теорему синусов для треугольника ABC:
$$\frac{AC}{sin(180 \degree - \alpha)}=2R$$ $$\frac{5}{5/13}=2R; R=\frac{13}{2}$$ Применим теорему синусов для треугольника AMN:
$$\frac{MN}{sin(180 \degree - 2\alpha)} = 2R$$ $$\frac{MN}{120/169}=13; MN=\frac{120}{13}$$ ОТВЕТ:$$\frac{120}{13}$$