Решение:
а)
∠BAD=∠CDM=α
(соответственные углы при параллельных прямых)
Углы при вершине D - вертикальные
∠AND=∠ADN
∠CMD=∠CDM
(свойство равнобедренного треугольника)
∠BAN=∠BCM=∠ABC=180°−α
Треугольники ABN и BCM равны по первому признаку равенства треугольников, следовательно
BN=BM
Что и требовалось доказать.
б)
sin α=135
cos α=1312
sin 2α=2⋅135⋅1312=169120
△ABC=△ABN=△BCM
(по первому признаку)
Трапеция ABCN - равнобедренная, суммы её противоположных углов - 180 градусов, следовательно она может быть вписана в окружность.
Радиус этой окружности возьмём за R. В эту же окружность может быть вписана и равнобедренная трапеция ABCM.
Точки A, B, C, M, N лежат на одной окружности.
Применим теорему синусов для треугольника ABC:
sin(180°−α)AC=2R
5/135=2R;R=213
Применим теорему синусов для треугольника AMN:
sin(180°−2α)MN=2R
120/169MN=13;MN=13120
ОТВЕТ:13120