В параллелограмме ABCD угол A острый. На продолжениях сторон AD и СD за точку D

Решение:
а)
$ \angle BAD = \angle CDM =\alpha $ (соответственные углы при параллельных прямых)
Углы при вершине D - вертикальные
$ \angle AND = \angle ADN $ $ \angle CMD = \angle CDM $ (свойство равнобедренного треугольника) $ \angle BAN = \angle BCM = \angle ABC = 180 \degree - \alpha $
Треугольники ABN и BCM равны по первому признаку равенства треугольников, следовательно $ BN = BM $ Что и требовалось доказать.
б) $ sin \space \alpha= \frac{5}{13} $ $ cos \space \alpha= \frac{12}{13} $ $ sin \space 2\alpha= 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13}=\frac{120}{169} $ $ \triangle ABC = \triangle ABN = \triangle BCM $ (по первому признаку)
Трапеция ABCN - равнобедренная, суммы её противоположных углов - 180 градусов, следовательно она может быть вписана в окружность. Радиус этой окружности возьмём за R. В эту же окружность может быть вписана и равнобедренная трапеция ABCM. Точки A, B, C, M, N лежат на одной окружности.
Применим теорему синусов для треугольника ABC:
$ \frac{AC}{sin(180 \degree - \alpha)}=2R $ $ \frac{5}{5/13}=2R; R=\frac{13}{2} $ Применим теорему синусов для треугольника AMN:
$ \frac{MN}{sin(180 \degree - 2\alpha)} = 2R $ $ \frac{MN}{120/169}=13; MN=\frac{120}{13} $ ОТВЕТ:$\frac{120}{13} $