ЕГЭ по математике 2021

Основание пирамиды SABC - прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине C. Ребро SA является высотой пирамиды. Точки E и F лежат на рёбрах AC и BS соответственно так, что SF : FB = AE : EC =1:5. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через точки E и F перпендикулярно прямой AC, является прямоугольником. б) Точки H и M - точки пересечения плоскости α с прямыми АВ и SC соответственно. Найдите объём многогранника BCMEHF, если объём пирамиды SABC равен 216

Основание пирамиды DABC - прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В. Точки М и N — середины рёбер АD и BC соответственно. а) Докажите, что MN является биссектрисой угла ВМС. б) Найдите угол между прямыми BD и MN, если , AC=12

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=5 и . Длины боковых рёбер пирамиды . а) Докажите, что SA - высота пирамиды SABCD. б) Найдите угол между прямыми SC и BD

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка K - середина ребра A1B1, a точка M делит ребро AC в отношении AM:MC=1:3. а) Докажите, что KM перпендикулярна AC. б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB=10, AC=12, AA1=7

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 3, а боковое ребро AA1 равно . На ребрах C1D1 и DD1 отмечены соответственно точки K и M так, что D1K=KC1, а DM:MD1=1:3. а) Докажите, что прямые MK и BK перпендикулярны. б) Найдите угол между плоскостями BMK и ABB1

Основание пирамиды SABC - прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B. а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин B и С. б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер BC и SA, если известно, что BS=2AC

Основание пирамиды SABC - прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B. а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин B и С. б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер BC и SA, если известно, что BS=AC

Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса – треугольник с углом при вершине M. Образующая конуса равна . Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих. А) Докажите, что получившийся в сечении треугольник ‐ тупоугольный. Б) Найдите расстояние от центра О основания конуса до плоскости сечения

Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса – треугольник с углом при вершине M. Образующая конуса равна . Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих. А) Докажите, что получившийся в сечении треугольник ‐ тупоугольный. Б) Найдите расстояние от центра О основания конуса до плоскости сечения

В параллелограмме ABCD тангенс угла A равен 1,5. На продолжениях сторон AB и BC параллелограмма за точку B выбраны точки N и M соответственно, причём BC=CN и AB=AM. а) Докажите, что DN = DM. б) Найдите MN, если AC =

В параллелограмме ABCD угол A острый. На продолжениях сторон AD и СD за точку D выбраны точки M и N соответственно, причём AM=AD и CM=CD. а) Докажите, что BN = BM. б) Найдите MN, если AC = 5,

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка K - середина бокового ребра SD. Плоскость AKB пересекает боковое ребро SC в точке P. а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP равна составляет 3/4 площади треугольника SCD. б) Найдите объем пирамиды ACDKP

Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его рёбра увеличить в 4 раза?

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы два различных корня

Окружность с центром О, построенная на катете АС прямоугольного треугольника АВС, как на диаметре, пересекает гипотенузу АВ в точках А и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет ВС в точке М. а) Докажите, что ВМ=СМ б) Прямая DM пересекает прямую АС в точке Р, прямая ОМ пересекает прямую ВР в точке К. Найдите ВК:КР, если

а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решите неравенство

В основании правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 лежит треугольник АВС. На прямой АА1 отмечена точка D так, что точка А1 – середина отрезка AD. На прямой В1С1 отмечена точка Е так, что С1 – середина отрезка В1Е. а) Докажите, что прямые А1В1 и DE перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми АВ и DE, если АВ=3, АА1=1

Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки N и M соответственно такие, что . a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC. б) Найдите CN, если BC = 3, AC = 5, CM = 2

Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Опущена высота CH. На AC и BC соответственно отмечены точки M и N так, что угол MHN прямой. а) Докажите, что треугольники MNH и ABC подобны. б) Найдите CN, если AC = 5, CM = 2, BC = 3