Тренировочная работа 25.01.2018 СтатГрад пробный ЕГЭ 11 класс Задание 18 (Вариант МА10311)

Диагностическая работа 10.10.2018 Коми 11 класс Вариант 1 Задача 18 № задачи в базе 1003


Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений {(2x^2+2y^2=5xy), ((x-a)^2+(y-a)^2=5a^4):} имеет ровно два решения


Ответ: +-0.2


Ключевые слова:
Задания ЕГЭ части 2 Задачи 18 с параметрами Критерии ЕГЭ 2019 Пробные ЕГЭ 2019 Диагностическая работа 10_10_2018 Коми 11 класс ЕГЭ 2018 Пробные ЕГЭ 2018 Тренировочная работа 25_01_2018 СтатГрад 11 класс Видео решения Окружность Алгебра Графический способ Система Уравнение

Примечание:
Тренировочная работа 25.01.2018 СтатГрад пробный ЕГЭ 11 класс Задание 18 (Вариант МА10311)! Диагностическая работа 10.10.2018 Коми 11 класс Вариант 1 Задача 18# Повтор от 22.04.2015_вар МА10409 - В решении есть хороший видеобзор от Павла Маслова

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений `{(2x^2+2y^2=5xy), ((x-a)^2+(y-a)^2=5a^4):}` имеет ровно два решения.
РЕШЕНИЕ 1003
Первое уравнение системы раскладывается на множители: `(x − 2y)*(y − 2x) = 0` . Следовательно, уравнение задаёт пару прямых `x = 2y` и `y = 2x`.
Второе уравнение при каждом `a != 0` — уравнение окружности c центром `(a, a)` и радиусом `a^2sqrt5`
Если `a=0` то система имеет единственное решение и поэтому не удовлетворяет условию задачи.
Пусть `a != 0` Тогда условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда окружность касается каждой из прямых. То есть расстояние от центра до каждой из прямых равно радиусу окружности.
Можно воспользоваться геометрическим методом или использовать формулу расстояния от точки до прямой.
`abs(a-2a)/sqrt(5)=abs(2a-a)/sqrt5=a^2sqrt5`
Отсюда
Ответ: `a = ±0.2`
Комментарий: на самом деле, конечно, задача сводится к исследований количества решений системы
`{(y=2x), ((x-a)^2+(y-a)^2=5a^4):}`
То есть, уравнение `(x-a)^2 +(2x-a)^2 =5a^4 iff 5x^2 - 6ax +2a^2 -5a^4 =0` которое имеет единственное решение при
`D=100a^4 - 4a^2=4a^2(25a^2-1)=0 iff [(a=0), (a=+-0.2):}`
При `a=0` прямые пересекаются, поэтому исходная система имеет не два, а всего одно решение. )

Графическое Решение


🔥 Оценки экспертов решений задания 18 ЕГЭ по математике профильного уровня. Сканы реальных работ прошлых лет

Предыдущая задача
Следующая задача