свойство Пересекающихся хорд

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали AD и BE пересекаются в точке М. Известно, что BCDM - параллелограмм. а) Докажите, что BC=DE. б) Найдите длину стороны AB, если известно, что DE=4, AD=7, BE=8 и AB > BC

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали AD и BE пересекаются в точке М. Известно, что BCDM - параллелограмм. а) Докажите, что две стороны пятиугольника ABCDE равны между собой. б) Найдите длину стороны AB, если известно, что BE=12, BC=5, AD=9

Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=7, CP=14, DP=10. Найдите AP

В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин - точка O. а) Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC=12, BD=13

Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K. а) Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны. б) Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 10, , а площадь четырёхугольника BCNH в 24 раза больше площади треугольника KNH

Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K. а) Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны. б) Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, , а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность - в точке F, причём H - середина AE. а) Докажите, что четырёхугольник BCFE - параллелограмм. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB=5 и AH=4

В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN - диаметр этой окружности. а) Докажите, что AC и KN параллельны. б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен

На окружности с диаметром MN, равным 34, взята точка K на расстоянии 15 от этого диаметра. Хорда KE пересекает диаметр MN в точке F под углом, равным . а) Докажите, что KF : FE = 125 : 29. б) Найдите площадь треугольника KEN

В окружность, радиус которой равен , вписана трапеция ABCD, причем ее основание AD – диаметр окружности, а . Хорда СЕ пересекает диаметр AD в точке Р такой, что AP : PD = 1 : 3. а) Докажите, что Р – cередина отрезка АО. б) Найдите площадь треугольника BPE

В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин - точка O. а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC=10, BD=26

Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите длину медианы, проведённой к стороне BC, если угол BAC равен , угол BMC равен

Продолжения медиан AM и BK треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках E и F соответственно, причём , . а) Докажите, что AB||CE. б) Найдите углы треугольника ABC

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр большей O. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P. Доказать, что PQ параллельна BC. . Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найти отношение QK:KA

В треугольнике ABC ; CC1 и AA1 - медианы. CC1 пересекает AA1 в точке M; угол BMC=133° угол BAC=47° Найти AA1