Критерии

Из пары натуральных чисел (a; b), где a > b, за один ход получают пару (a + b; a − b). а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару, большее число в которой равно 400? б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару (806; 788)? в) Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=. а) Докажите, что BD=CD. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=2:3. Найдите площадь сечения MNB

КИМ Демовариант ЕГЭ 2024 ФИПИ по математике профильного уровня. Критерии с решениями второй части

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 длина ребра основания равна 4, а длина бокового ребра равна 2. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α , проходящей через середину ребра АВ перпендикулярно отрезку, соединяющему середины рёбер ВС и А1В1, делит ребро АС в отношении 1:3, считая от вершины А. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α

15 января планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца нужно внести один платёж для погашения долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что седьмой платёж равен 64 тыс. рублей. Найдите сумму всех платежей, которые будут выплачены банку в течение всего срока кредитования

Каждый из группы учащихся сходил в зоопарк или в музей, при этом возможно, что кто-то из них сходил и в зоопарк, и в музей. Известно, что в музее мальчиков было не более 5/13 от общего числа учащихся группы, посетивших музей, а в зоопарке мальчиков было не более 1/4 от общего числа учащихся группы, посетивших зоопарк. а) Могло ли быть в группе 12 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 25 учащихся? б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 25 учащихся? в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN , если MN : BC = 3:7, а BN=6

Оценки экспертов решений задания 13 ЕГЭ по математике профильного уровня. Задание № 13 – тригонометрическое, логарифмическое или показательное уравнение.

Оценки экспертов решений задания 14 ЕГЭ по математике профильного уровня. Задание 14 – стереометрическая задача, она разделена на пункты а и б. В пункте а нужно доказать геометрический факт, в пункте б найти (вычислить) геометрическую величину.

Оценки экспертов решений задания 15 ЕГЭ по математике профильного уровня. Задание № 15 – это неравенство: дробно-рациональное, логарифмическое или показательное.

Оценки экспертов решений задания 16 ЕГЭ по математике профильного уровня. Задание № 16 – это текстовая задача с экономическим содержанием.

Оценки экспертов решений задания 17 ЕГЭ по математике профильного уровня. Задание № 17 - это планиметрическая задача. В пункте а теперь нужно доказать геометрический факт, в пункте б - найти (вычислить) геометрическую величину.

Оценки экспертов решений задания 18 ЕГЭ по математике профильного уровня. Задание № 18 - это уравнение, неравенство или их системы с параметром. Задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространёнными из них являются: – чисто алгебраический способ решения; – способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи; – функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические элементы, но базовым является исследование некоторой функции. Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт к цели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трёх перечисленных способов

Оценки экспертов решений задания 19 ЕГЭ по математике профильного уровня. Задание 19 проверяет достижение следующих целей изучения математики на профильном уровне: "развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и её приложений в будущей профессиональной деятельности

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD, BC -меньшее основание, O - точка пересечения диагоналей, точки M и N - середины боковых сторон AB и CD соответственно. Через точки M и N проведена плоскость α параллельно прямой SO. а) Докажите, что сечением пирамиды SABCD плоскостью α является трапеция. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD=12, BC=10, SO=9, а прямая SO перпендикулярна прямой AD

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали пересекаются в точке O. Точки M и N - середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO. а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD=7, BC=5, SO=14, а прямая SO перпендикулярна прямой AD

а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

В июле 2022 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S - целое число. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 15 % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; - в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение S , при котором каждая из выплат будет меньше 3 млн рублей

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение

Юра записывает на доске n-значное натуральное число, не используя цифру 0. Затем он записывает рядом ещё одно число, полученное из исходного перемещением первой цифры на последнее место. (Например, если n=3 и исходное число равно 123, то второе число равно 231.) После этого Юра находит сумму этих двух чисел. а) Может ли сумма чисел на доске равняться 2728, если n=4 ? б) Может ли сумма чисел на доске равняться 83 347, если n=5? в) При n=6 оказалось, что сумма чисел делится на 99. Сколько натуральных чисел от 925 111 до 925 999, которые Юра мог использовать в качестве исходного числа?