Математика

Найдите площадь параллелограмма на рисунке, если площади жёлтых треугольников равны 5 и 2

На рёбрах BC, AB и AD правильного тетраэдра ABCD отмечены точки L, M и N соответственно. Известно, что BL : LC = AM : MB = AN : ND = 1 : 2. а) Докажите, что плоскость α, проходящая через точки L, M и N, делит ребро CD в отношении 2 : 1, считая от вершины C. б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если AB = 6

В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причем точка P лежит на стороне AD, а точка Q – на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM = BP, AB = BQ. а) Докажите, что BM = PQ. б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM = BP = 21, AB = BQ = 29

Эксперты ЕГЭ по математике об итогах проверки основной волны профильного уровня. Большое спасибо Ольге Игоревне Себедаш и экспертам!

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла, AM и CN – биссектрисы треугольников ACH и BCH соответственно. a) Докажите, что прямые AM и CN перпендикулярны. б) Найдите длину отрезка MN, если BC=21 и sin ∠ABC=2/5

Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью α является правильным треугольником площадью 4√3. а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна прямой AC. б) В каком отношении точка K делит ребро SA, считая от вершины S, если объем пирамиды равен 18√3

В треугольнике ABC угол ACB равен 30°, отрезки AH и AM – высота и медиана соответственно, причём точка H лежит на отрезке BM. Отрезок MQ – высота треугольника AMC, а прямые AH и MQ пересекаются в точке F. Известно, что луч AM – биссектриса угла CAH. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите площадь CMF, если AB = 8

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны, на ребре AA1 отмечена точка M, на ребре A1B1 отмечена точка K. Известно, что AM=5MA1, A1K=KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно грани ABB1A1. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину С1. б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, если все ребра призмы равны 12

а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решите неравенство

Решите неравенство

Решите неравенство

Решите неравенство

Решите неравенство

а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

В четырёхугольнике KLMN вписана окружность с центром в точке O. Эта окружность касается стороны MN в точке A, ∠MNK = 90°, ∠KLM=∠LMN= 60°. а) Докажите, что точка A лежит на прямой LO. б) Найдите MN, если LA=3√3

Дан остроугольный треугольник ABC. Известно, что ∠BAC = 2∠ABC. Точка O – центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P. a) Докажите, что треугольники ABC и PAC подобны. б) Найдите AB, если BC=6 и AC=4

а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решите неравенство