РЕШЕНИЕ 1042
а) Пусть прямая AK пересекает прямую PH в точке N (см. рисунок 1). Так как `alpha` перпендикулярна `PM` `AK in alpha`, то `AK_|_PM`. Далее имеем: `AM=(ABsqrt3)/2=8sqrt3=AP`. Значит, AK -высота и медиана треугольника PAM. Следовательно, N - точка пересечения медиан этого треугольника, откуда и получаем `PN:NH=2:1` , что и требовалось доказать. б) Пусть точка L ― проекция точки K на плоскость ABC, тогда `KL||PH` и, значит, `L in AM`. Так как `KL || PH` и `PK=KM`, то L ― середина MH. Отрезок CL ― проекция отрезка CK на плоскость ABC. Далее, поскольку плоскость `(ABC)_|_PH` , точка H ― проекция прямой PH на плоскость ABC. Значит, расстояние между прямыми PH и CK равно расстоянию от точки H до прямой CL, т.е., высоте HF треугольника CHL. (см. рисунок 2).
Далее имеем: `HM=1/2AM=4sqrt3`, `LH=LM=1/2HM=2sqrt3`,
`CL=sqrt(CM^2+LM^2)=2sqrt19`, `HF=(2S_(Delta) CHL)/(CL)`.Так как `LH=LM` , то `S_(Delta) CHL=S_(Delta) CLM`.
Таким образом, `HF=(CM*ML)/(CL)=(8*2sqrt3)/(2sqrt19)=24/sqrt57=(8sqrt57)/19` Ответ: б) `(8sqrt57)/19` . )
а) Пусть прямая AK пересекает прямую PH в точке N (см. рисунок 1). Так как `alpha` перпендикулярна `PM` `AK in alpha`, то `AK_|_PM`. Далее имеем: `AM=(ABsqrt3)/2=8sqrt3=AP`. Значит, AK -высота и медиана треугольника PAM. Следовательно, N - точка пересечения медиан этого треугольника, откуда и получаем `PN:NH=2:1` , что и требовалось доказать. б) Пусть точка L ― проекция точки K на плоскость ABC, тогда `KL||PH` и, значит, `L in AM`. Так как `KL || PH` и `PK=KM`, то L ― середина MH. Отрезок CL ― проекция отрезка CK на плоскость ABC. Далее, поскольку плоскость `(ABC)_|_PH` , точка H ― проекция прямой PH на плоскость ABC. Значит, расстояние между прямыми PH и CK равно расстоянию от точки H до прямой CL, т.е., высоте HF треугольника CHL. (см. рисунок 2).
Далее имеем: `HM=1/2AM=4sqrt3`, `LH=LM=1/2HM=2sqrt3`,
`CL=sqrt(CM^2+LM^2)=2sqrt19`, `HF=(2S_(Delta) CHL)/(CL)`.Так как `LH=LM` , то `S_(Delta) CHL=S_(Delta) CLM`.
Таким образом, `HF=(CM*ML)/(CL)=(8*2sqrt3)/(2sqrt19)=24/sqrt57=(8sqrt57)/19` Ответ: б) `(8sqrt57)/19` . )