| | | |
| |
| 3532 | На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,25.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AKND, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 8, AK:KB = 2:5, а BC < AD и BC = 4
 Решение | На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 9 Задание 16 |  |
|
|
| 3514 | Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F соответственно. Точка D - основание высоты, опущенной из вершины C. I и J - центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.
а) Докажите, что I и J лежат на отрезке EF.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой IJ, если AC=15, BC=20
Решение | Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F соответственно ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 7 Задание 16 | |
|
|
| 3502 | В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F - середины сторон ВC и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если AB=7, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 2,5
Решение | В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F - середины сторон ВC и AD соответственно ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 5 Задание 16 | |
|
|
| 3492 | Четырёхугольник ABCD со сторонами BC=7 и AB=CD=20 вписан в окружность радиусом R=16.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD
Решение | Четырёхугольник ABCD со сторонами BC=7 и AB=CD=20 вписан в окружность радиусом R=16 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 3 Задание 16 | |
|
|
| 3490 | Дана равнобедренная трапеция ABCD. На боковой стороне AB и большем основании AD взяты соответственно точки F и E так, что FE параллельно CD, a FC=ED.
а) Докажите, что угол BCF равен углу AFE.
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если DE=5BF, FE=8 и площадь трапеции FCDE равна
Решение | Дана равнобедренная трапеция ABCD. На боковой стороне AB и большем основании AD взяты соответственно точки F и E так, что FE параллельно CD, a FC=ED ! Досрочный ЕГЭ 2022 по математике 28.03.2022 Задание 16 | |
|
|
| 3477 | В параллелограмме ABCD угол ВАС вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE=CE.
а) Докажите, что AL:BC=AB:BC.
б) Найдите EL, если
Решение | В параллелограмме ABCD угол ВАС вдвое раза больше угла CAD ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 1 Задание 16 # ЕГЭ 2022 по математике 02.06.2022 основная волна Задание 16 Санкт-Петербург, Центр # Задача-Аналог 3356 | |
|
|
| 3468 | На сторонах АВ, ВС и АD квадрата ABCD взяты соответственно точки М, К и N, такие, что АМ : МВ = 3 : 1, ВК : КС = 2 : 1 и АN : ND = 1 : 2.
а) Докажите, что площадь четырехугольника МКСN составляет 11/24 площади квадрата ABCD.
б) Найдите синус угла между диагоналями четырехугольника МКCN
Решение | На сторонах АВ, ВС и АD квадрата ABCD взяты соответственно точки М, К и N, такие, что АМ : МВ = 3 : 1, ВК : КС = 2 : 1 и АN : ND = 1 : 2 ! Тренировочный вариант 399 от Ларина Задание 16 | |
|
|
| 3467 | В трапеции АВСD боковая сторона CD перпендикулярна основаниям AD и ВС. В эту трапецию вписали окружность с центром О. Прямая АО пересекает продолжение отрезка ВС в точке Е
а) Докажите, что AD=CE+CD
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если АЕ=10,
Решение | В трапеции АВСD боковая сторона CD перпендикулярна основаниям AD и ВС ! Тренировочный вариант 398 от Ларина Задание 16 | |
|
|
| 3460 | Две окружности пересекаются в точках Р и Q. Через точку Р проведена прямая, пересекающая вторично первую из окружностей в точке А, а вторую – в точке В. Через точку Q также проведена прямая, пересекающая вторично первую окружность в точке С, а вторую – в точке D.
а) Докажите, что прямые АС и BD параллельны.
б) Найдите наибольшее возможное значение суммы длин отрезков АВ и CD, если расстояние между центрами данных окружностей равно 1
Решение | Две окружности пересекаются в точках Р и Q. Через точку Р проведена прямая, пересекающая вторично первую из окружностей в точке А ! Тренировочный вариант 397 от Ларина Задание 16 # Задача-Аналог 762 | |
|
|
| 3440 | Окружность, проходящая через вершину A треугольника ABC, касается его стороны BC в точке D и пересекает стороны AC и AB в точках E и F соответственно. Известно, что AF=3BF, BD=CD, AE=2CE и что . Найдите BC
Решение | Окружность, проходящая через вершину A треугольника ABC, касается его стороны BC в точке D и пересекает стороны AC и AB в точках E и F соответственно! ДВИ в МГУ 2022 - 6 поток, Вариант 6 Задание 5 | |
|
|