https://egeprof.ru/Konspekty

Комбинаторика и начала теории вероятностей в 10-11 классе

1. Основные понятия теории множеств

Множество – совокупность каких-либо объектов. Принято обозначать A, B, C,…
Например, множество корней уравнения

есть

Элементы множества A могут располагаться в различном порядке:

– Все элементы различны.

- Пустое множество
Множество, вместе с установленным в нём порядком элементов называется УПОРЯДОЧЕННЫМ МНОЖЕСТВОМ или ПЕРЕСТАНОВКОЙ и обозначается круглыми скобками

2. Правила суммы и произведения в комбинаторике

Задача 2.1

Турист может отправиться в один из трёх горных походов и в любой из пяти водных. Сколькими способами турист может провести отдых?
Ответ:
Если некоторый объект A можно выбрать “m” способами, а объект B – “n” способами, то выбрать или A, или B можно способами.

Задача 2.2

Из города A в город B ведут 5 дорог, а из города B в город C - три дороги. Сколько путей, проходящмх через B, ведут из A в C ?
Какая бы ни была выбрана дорога из A в B (5 способов), с каждым из этих пяти способов есть три способа добраться из B в C. То есть
Ответ:
Если некоторый объект A можно выбрать “m” способами, а после каждого такого выбора, объект B можно выбрать “n” способами, то выбрать и A, и B можно способами.

Это правило с помощью метода математической индукции можно перенести на любое количество объектов.

Задача 2.3

Сколько есть четырёхзначных чисел, больших 5000, в записи которых никакие две одинаковые цифры не стоят рядом?
1. На первое место можно выбрать {5; 6; 7; 8; 9}
2. Независимо от того, как выбрана первая цифра, вторую - можно выбрать девятью способами, третью и четвёртую - тоже девятью способами.
Ответ:

Задача 2.4

На собрании должны выступить 5 человек. Сколькими способами их можно расположить в списке ораторов?
Ответ:

Задача 2.5

Сколько имеется трёхзначных чисел, кратных "5"?
-На первом месте - любая цифра, кроме 0.
-На втором месте- любая цифра.
-На третьем месте- либо "0", либо 5.
Ответ:

3. Упорядоченные множества

Упорядоченные множества - перестановки из "n" элементов

Количество таких упорядочных множеств (перестановок) называется числом перестановок из "n" элементов и вычисляется по формуле

0! = 1 (Пустое множество можно упорядочить одним способом);
1! = 1
2! = 2

Задача 3.1

Сколькими способами можно усадить за стол четырёх человек, если к столу приставлено 4 стула?
Ответ:

Задача 3.2

Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 2, 4, 5, 7, не повторяя их?
Решение:
Всего из 5 цифр можно образовать 5! = 120 перестановок, но перестановки, содержащие "0" на первом месте, не являются числами ( их 4! = 24 )
Ответ:

Задача 3.3

Сколько надо взять элементов, чтобы всех перестановок, полученных их них, было 720?
Ответ:

Задача 3.4

Решить уравнение

Решение:


Ответ: 7

4. Подмножества "n"-элементного множества - Сочетания

Подмножества, содержащие "m" элементов, взятых из данных "n" элементов, называется Сочетаниями из "n" по "m". Количество их называется Числом сочетаний из "n" по "m" и обозначается


Формула числа сочетаний из "n" по "m":

; ;
Замечание:
Множество "B" является подмножеством множества "A", если каждый элемент множества "B" принадлежит "A":
Пишут:

говорят "B" содержится в "A".
Полезно помнить, что каждое "n" элементное множество имеет подмножеств.

Задача 4.1

В шахматном турнире приняли участие 15 шахматистов, причём каждый из них сыграл только по одной партии с каждым из остальных. Сколько партий сыграно в турнире?
Число всех партий есть
Ответ : 105

5. Упорядоченные подмножества - Размещения.

Упорядоченные "m"-элементные подмножества для данного "n"- элементного множества называется Размещениями из"n" по "m". Их количество называется Числом размещений из "n" по "m" и обозначается


Удобнее:



В задаче 4.1 подмножества были неупорядочные. Шахматист A играет с шахматистом B или B играет с A - это одно и тоже Сочетание.

Задача 5.1

После окончания шахматного турнира все его 15 участников решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий необходимо для такого обмена?
Здесь важен порядок обмена. Шахматист A даёт свою фотографию шахматисту B, а B отдаёт свою фотографию A. Это разные подмножества!
Ответ:

Задача 5.2

Во взводе 5 сержантов и 50 рядовых солдат. Сколькими способами можно составить наряд, состоящий из одного сержанта и трёх рядовых?
Решение:
1. Одного сержанта можно выбрать (пятью способами)
2. Трёх рядовых из 50 (независимо от того, как выбран сержант) можно выбрать способами.
3. По правилу произведения имеем:
способов.

Задача 5.3

Решить уравнение:
ОДЗ:

при n=3
После сокращения уравнение примет вид:

Ответ: {14; 3}